Задача 1: Выпуклый четырёхугольник с площадью большей ½ заключён в квадрат со стороной 1. Докажите, что внутри четырёхугольника найдётся отрезок длины ½, параллельный данной стороне квадрата.

Задача 2: Дорога протяжённостью 1км полностью освещена фонарями, причём каждый фонарь освещает отрезок длиной 10м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?

Задача 3: Про непрерывную функцию f известно, что:

а) f определена на всей числовой прямой;

б) f в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график f в каждой точке имеет единственную касательную);

в) график функции f не содержит точек, одна координата которых рациональна, а вторая — иррациональна.

Следует ли отсюда, что график f — прямая?

Задача 4: Найдите все двузначные числа, обладающие следующим свойством: если вставить между цифрами числа произвольное ненулевое количество семёрок, то полученное число делится нацело на 13.