Задача 1: Выпуклый четырёхугольник с площадью большей ½ заключён в квадрат со стороной 1. Докажите, что внутри четырёхугольника найдётся отрезок длины ½, параллельный данной стороне квадрата.

Решение: Зафиксируем одну из сторон квадрата и проведём через вершины четырёхугольника прямые, параллельные этой стороне. Эти прямые разобьют четырёхугольник на 2 треугольника и трапецию (некоторые из этих фигур могут оказаться вырожденными). Обозначим через S₁, S₂ и S₃ площади треугольников и трапеции, через h₁, h₂ и h₃ — их высоты, через a и b — основания трапеции (см. рис.6). Тогда площадь многоугольника равна . Если и a, и b меньше ½, то эта величина меньше, чем ¼h₁ + ¼h₂ + ½h₃ = ¼(h₁ + h₂ + h₃) + ¼h₂ < ½, так как сумма высот не превосходит стороны квадрата. Противоречие.

Задача 2: Дорога протяжённостью 1км полностью освещена фонарями, причём каждый фонарь освещает отрезок длиной 10м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?

Решение:

Ответ: 198. Занумеруем фонари натуральными числами в порядке следования вдоль дороги. Если отрезки, освещённые n-ым и n + 2-ым фонарями пересекаются, то n + 1-ый фонарь можно выключить. Следовательно, отрезки с различными нечётными номерами не пересекаются. На отрезке длины 1000м нельзя расположить больше 99 непересекающихся отрезков длины 10м, значит, фонарей не больше 198.

Расположим 198 фонарей так, чтобы центры освещенных отрезков образовывали арифметическую прогрессию, первый член которой равен 5м, а 98-ой — 995м. Между n-ым и n + 2-ым фонарём остаётся зазор, который освещается только n + 1-ым фонарём. Поэтому никакой фонарь выключить нельзя.

Задача 3: Про непрерывную функцию f известно, что:

а) f определена на всей числовой прямой;

б) f в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график f в каждой точке имеет единственную касательную);

в) график функции f не содержит точек, одна координата которых рациональна, а вторая — иррациональна.

Следует ли отсюда, что график f — прямая?

Решение:

Нет, не следует. Пример:

Задача 4: Найдите все двузначные числа, обладающие следующим свойством: если вставить между цифрами числа произвольное ненулевое количество семёрок, то полученное число делится нацело на 13.

Решение:

Пусть — двузначное число, обладающее требуемым свойством. Тогда числа и , а следовательно, и их разность, равная 100(9a + 7) делятся на 13. Так как 100 и 13 взаимно просты, на 13 делится число 9a + 7, откуда перебором всех возможных случаев получаем, что a может равняться только 5. Из делимости на 13 числа находим, что b = 2, то есть 52 — единственно возможный вариант.

Убеждаемся, что все числа вида делятся на 13. Это немедленно следует из равенства: .