Задача 1: Найдите все пары чисел x и y, которые удовлетворяют уравнению:

 tg ⁴x +  tg ⁴y + 2 ctg ²x ctg ²y = 3 +  sin ²(x + y).

Задача 2: Докажите, что любую замкнутую ломаную на плоскости, длина которой равна 1, можно покрыть кругом радиуса .

Задача 3: Красящий хамелеон — сказочная шахматная фигура, которая с любого поля доски ходит на соседнее поле по горизонтали или вертикали. При этом она либо красит вновь занимаемое поле в свой цвет, либо сама окрашивается в цвет поля, на которое она перешла. На шахматную доску 8 × 8, все поля которой синие, поставили зелёного хамелеона. Указать все раскраски доски в синий и зелёный цвета (каждое поле в свой цвет), которые можно получить за несколько ходов.

Задача 4: Можно ли составить магический квадрат из чисел 1, 2,  … , 25 (каждое число встречается ровно один раз) так, чтобы сумма восьми чисел, стоящих в заштрихованных клетках (см. рисунок), делилась бы на 3? (Квадрат называется магическим, если суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух больших диагоналей равны между собой.)