Задача 1: Решите уравнение: 2x = 3[x] + 4, где [x] — целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x.

Решение: Из условия следует, что число 2x — целое. Поэтому x либо целое, либо является дробью со знаменателем 2. В первом случае [x] = x, откуда x =  – 4, а во втором — , откуда x =  – 2,5.

Ответ: x =  – 4, x =  – 2,5.

Задача 2: Семиклассник разрезал бумажный квадрат на прямоугольники периметра 7см, а восьмиклассник — такой же квадрат на прямоугольники периметра 8см. Может ли у восьмиклассника оказаться больше прямоугольников?

Решение: Да, такое возможно. Например, пусть длина стороны разрезаемого квадрата равна 42 см, семиклассник разрезает его на 21 • 28 = 588 прямоугольников размера 2 × 1,5 см, а восьмиклассник — на 12 • 84 = 908 прямоугольников размера 3,5 × 0,5 см (возможность таких разрезаний очевидна).

Задача 3: 100 спортсменов, одетые в красные или синие костюмы построились в одну шеренгу. Оказалось, что если спортсмен в красном костюме, то спортсмен, стоящий от него через 9 человек, обязательно в синем. Какое наибольшее количество спортсменов может быть одето в красные костюмы?

Решение: Занумеруем спортсменов натуральными числами от 1 до 100 в порядке их располдожения в шеренге. Разобьем спортсменов на пары по номерам: 1 и 11, 2 и 12, 3 и 13,  … , 10 и 20, 21 и 31, 22 и 32,  … , 89 и 99, 90 и 100. По условию в каждой из пар хотя бы один спортсмен не одет в красный костюм. Таким образом, в красные костюмы не может быть одето более 50 спортсменов.

Может случится, что 50 спортсменов в красных костюмах найдутся. Например, в красное одеты все спортсмены с номерами с 1 по 10, с 21 по 30, с 41 по 50, с 61 по 70 и с 81 по 90. Таким образом 50 — искомое число.

Задача 4: Найдите все натуральные числа n, такие, что числа n + 19 и n + 98 одновременно являются квадратами целых чисел.

Решение: Пусть n + 98 = a², n + 19 = b², где a и b — целые числа (очевидно, их можно считать неотрицательными). Тогда (a + b)(a – b) = a² – b² =   = 79 — число простое. Отсюда a + b = 79, a – b = 1, следовательно a = 40, b = 39, n = 1502.

Ответ: 1502.