Задача 1: Oстап Бендер организовал в Нью-Васюках раздачу слонов населению. На раздачу явились 28 членов профсоюза и 37 не членов профсоюза, причем Остап раздавал слонов поровну всем членам профсоюза и поровну всем не членам. Оказалось, что существует единcтвенный способ раздать таким образом всех слонов. Какое наибольшее число слонов могло быть у О.Бендера?

Задача 2: Доказать, что сумма длин расстояний от центра окружности до сторон вписанного в нее равнобедренного треугольника больше ее радиуса.

Задача 3: Можно ли бесконечный лист клетчатой бумаги так разбить на доминошки 1 × 2, чтобы каждая прямая, идущая по линиям сетки, разрезала пополам лишь конечное число доминошек?

Задача 4: На отрезке [0,1] задано такое множество M, являющеес объединением нескольких непересекающихся отрезков, что расстояние между двумя любыми точками из M, не равно 0,1. Доказать, что сумма длин отрезков, составляющих M, меньше 0,55.

Задача 5: На доске написано число 2. Каждый из двух игроков своим ходом заменяет число n на число n + d, где d – делитель числа n, меньший его. Выигрывает тот, кто напишет на доске число 19891988 (писать большие числа запрещается). Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?

Задача 6: Каждая точка окружности окрашена в один из двух цветов красный или синий. Доказать, что в эту окружность можно вписать равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета.

Задача 7: Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, в котором занимается не менее 2/3 всего класса.

Задача 8: В треугольник ABC вписана окружность, а вокруг нее описан квадрат. Доказать, что внутри треугольника лежит более половины периметра квадрата.