Задача 1: Решите уравнение:

где [x] – целая, а x – дробная часть числа x.

Задача 2: Четыре окружности расположены так, что каждая касается внешним образом двух других. Каждая из этих окружностей касается внутренним образом пятой окружности в точках A, B, C, D. Докажите, что AB × CD = BC × DA.

Задача 3: Докажите, что если при всех целых x многочлен P(x) принимает только целые значения и для любых натуральных n и x последовательность остатков от деления на n чисел x, P(x), P(P(x)), …, P(P(...P(x))...), и т.д. периодична, то все коэффициенты многочлена P(x) – целые.

Задача 4: Шкаф прямоугольной формы можно передвигать, поворачивая вокруг одной из ножек (слегка приподнимая остальные). После какого минимального числа поворотов шкаф может оказаться на том же месте, но повернутым на 180?

Задача 5: Существует ли функция, непрерывная на вещественной оси и принимающая каждое свое значение ровно два раза?

Задача 6: На плоскости отмечены 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между которыми различны. Докажите, что среди всех треугольников с вершинами в этих точках найдутся два треугольника с общей стороной такой, что для одного из них эта сторона является наибольшей, а для другого – наименьшей.

Задача 7: Дан остроугольный треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек M таких, что  ∠ MAB =  ∠ MCB,  ∠ MBA =  ∠ MCA.

Задача 8: В кубиках, составляющих куб n × n × n, написаны действительные числа так, что сумма чисел в каждом кубике 2 × 2 × 2 равна 10. При каких n можно утверждать, что сумма чисел в восьми угловых кубиках также равняется 10?

Задача 9: Решите в натуральных числах уравнение: 7ⁿ = 6ⁿ + m².

Задача 10: Можно ли в пространстве выбрать 1993 отрезка так, чтобы любая плоскость пересекала не более трех из них?