Задача 1:

Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечетного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты четных чисел. В какой группе сумма чисел больше?

(Н. Агаханов)

Задача 2:

Два многочлена P(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + d и Q(x) = x² + px + q принимают отрицательные значения на некотором интервале I длины более 2, а вне I – неотрицательны. Докажите, что найдется такая точка x₀, что P(x₀) < Q(x₀).

(Н. Агаханов)

Задача 3:

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка K таким образом, то середина отрезка AD равноудалена от точек K и C, а середина отрезка CD равноудалена от точек K и A. Точка N – середина BK. Докажите, что углы NAK и NCK равны.

(С. Берлов)

Задача 4:

Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)

(Ю. Лифшиц)

Задача 5:

Юра выложил в ряд 2001 монету достоинством 1,2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры могло быть трехкопеечных монет?

(Ю. Лифшиц)

Задача 6:

В компании из 2n + 1 человек для любых n человек найдется отличный от них человек, знакомый с каждым из них. Докажите, что в этой компании найдется человек, знающий всех.

(С. Берлов)

Задача 7:

На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и NC пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответсвенно. Докажите, что центр O описанной около треугольника ABC окружности лежит на окружности, описанной около треугольника KBM.

(С. Берлов)

Задача 8:

Найдите все нечетные натуральные числа n (n > 1) такие, что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число a + b – 1 также является делителем n

(Д. Джукич)