Задача 1: Известно, что при некотором натуральном n число 5ⁿ + 3ⁿ + 1 – простое. Докажите, что n делится на 12.

Задача 2: Конь стоит в левой нижней клетке шахматной доски 100 × 100. Двое по очереди передвигают его, стараясь попасть в правую верхнюю клетку. При этом первый может делать одновременно от одного до n обычных шахматных ходов конем, а второй – от одного до m ходов. При каких m и n, не превосходящих 40, первый может выиграть независимо от игры второго?

(С.Г.Волченков)

Задача 3:

Задача 4: У каждой из двух равных 100-угольных правильных призм отметили по 50 вершин. Докажите, что первую призму можно так совместить со второй, чтобы по крайней 13 его отмеченных вершин совпали с отмеченными вершинами второго.

(С.Г.Волченков)

Задача 5:

Задача 6: O – центр описанной окружности треугольника ABC; лучи AO и CO вторично пересекают описанную окружность соответственно в точках D и E таких, что  ∠ DEC =  ∠ DAB и  ∠ EDA =  ∠ ECB. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

(А.В.Пастор)

Задача 7:

Задача 8:

Задача 9: В однокруговом турнире шесть участников покинули соревнования после шестого тура. В итоге в турнире было сыграно 67 игр. Докажите, что хотя бы двое из выбывших не сыграли между собой.

(К.А.Кноп)

Задача 10: Какое максимальное число действительных решений может иметь уравнение a₁|x – b₁| + a₂|x – b₂| + a₃|x – b₃| = 0, если известно, что множество его решений в действительных числах конечно?