 |
 |
|
| Задачная база >> Соревнования всероссийского уровня >> Кубок памяти Колмогорова >> IV кубок >> Турнир матбоёв >> 2-й тур >> Высшая юниорская лига | Показать решения |
|
|
| Соревнования всероссийского уровня. Кубок памяти Колмогорова. IV кубок. Турнир матбоёв. 2-й тур. Высшая юниорская лига |
|
|
На множестве целых чисел определена операция *. Известно, что для любых целых a,b,c выполняются следующие условия:
Найдите 2000*2067.
Задача 2:
Точки K и M – середины диагоналей вписанного четырехугольника ABCD, а точки Lи N – середины сторон BC и AD соответственно. Описанная окружность треугольника KLM вторично пересекает сторону BC в точке L′, а описанная окружность треугольника KMN вторично пересекает сторону AD в точке N′. Докажите, что прямая KM делит отрезок L′N′ пополам.
Задача 3:Последовательность задана условиями a1 = 1; an = an – 1 – n, если an – 1 > n; в противном случае an = an – 1 + n. Найдите наименьший номер n такой, что an = 2000.
Задача 4:
Пусть n ≥ 2 – натуральное число. Докажите, что
Задача 5:
Найдите все такие многочлены P(x)) с целыми коэффициентами, что P(n – 1) + P(n + 1) делится на P(n) для бесконечного множества натуральных n.
Задача 6:
Двое играют в крестики-нолики на бесконечной клетчатой полосе ширины 1. Первый ходит одним крестиком, второй – сотней ноликов (не обязательно подряд). Цель первого – получить три крестика, один из которых стоит точно посередине между двумя другими, цель второго – помешать первому это сделать. Какого минимального числа ходов достаточно первому для того, чтобы обеспечить себе победу независимо от ходов второго?
Задача 7:
В связном графе 4nвершин, степень каждой вершины равна трем. Докажите, что количество способов раскрасить ребра этого графа в три цвета так, чтобы в каждой вершине сходились ребра разных цветов, не превосходит 3 • 2³n.
Задача 8:
Дан пятиугольник ABCDE в котором AB = BC и ∠ A = ∠ C = 90. Точка Fна
стороне ED такова, что 
. Докажите,
что ∠ ACF = ∠ ABE.
Задача 9:
С рядом из нулей и единиц разрешается проделывать такую операцию: несколько (может быть, ни одного) идущих подряд с начала последовательности нулей заменить на единицы, а следующий за ними знак заменить на противоположный (1 на 0, а 0 на 1). За какое наименьшее количество таких операций из 20 единиц можно получить одни нули?
Задача 10:
Докажите, что сумма квадратов всех делителей натурального числа n (включая 1 и n) не может равняться (n+1)².
| Задачная база >> Соревнования всероссийского уровня >> Кубок памяти Колмогорова >> IV кубок >> Турнир матбоёв >> 2-й тур >> Высшая юниорская лига | Показать решения |