Задача 1:

В ромбе ABCD угол B равен 60. Через точку D проведена прямая l, пересекающая прямые AB и BC в точках E и F соответственно. Прямые AF и CE пересекаются в точке M. Докажите, что угол между прямыми AM и CM не зависит от выбора прямой l.

(К.А.Кноп)

Задача 2:

Решите уравнение (x + 1)(x + 2)(x + 8)(x + 9) = y² в целых числах.

Задача 3:

Известно, что 3a + 2b + 3c = 0. Докажите, что уравнение ax³ + bx + c = 0 имеет хотя бы один корень на интервале (0,3).

(К.А.Кноп)

Задача 4:

Барон Мюнхгаузен утверждает, что он умеет расставить на доске 8 × 8 стандартный комплект кораблей морского боя (1 четырехклеточный, 2 трехклеточных, 3 двухклеточных, 4 одноклеточных, корабли не касаются друг друга даже углами) так, что в каких-то пяти строчках корабли занимают ровно по 4 клетки (а остальные три строчки свободны от кораблей). Не хвастает ли барон?

(К.А.Кноп)

Задача 5:

Автомобиль едет со скоростью 90 км/ч под гору, 72 км/ч по ровной местности и 60 км/ч вверх. Известно, что дорогу из города A в город B этот автомобиль преодолевает за 5 часов, а на обратный путь тратит 4 часа. Найдите расстояние от A до B.

(Фольклор)

Задача 6:

Найдите все натуральные числа n, сумма цифр которых равна 2002 – n.

(Фольклор)

Задача 7:

Точки бесконечной полоски ширины 1 раскрашены в два цвета. Докажите, что для любого положительного числа r найдутся две точки одинакового цвета на расстоянии r.

(А.Я. Канель-Белов)

Задача 8:

Приведите пример четырнадцатигранника, каждая грань которого – либо квадрат, либо правильный треугольник.

(Д.А. Крамаренко)

Задача 9:

В пространстве даны 2000 черных точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Некоторые из точек соединены стрелками. Известно, что нет пути, идущего по стрелкам и проходящего через все точки (даже если можно проходить через одну точку несколько раз). Докажите, что часть точек (не меньше одной, но не все) можно перекрасить в синий цвет так, чтобы никакая стрелочка не вела из синей точки в черную.

Задача 10:

Двое игроков по очереди ставят по одной фишке на клетки доски 1999 × 2001. Игрок может ставить фишку на свободную клетку, если все соседние с ней (по стороне) клетки свободны или если хотя бы на одной из соседних клеток уже стоит фишка, поставленная соперником. Проигрывает тот игрок, который не сможет сделать очередного хода. Кто выигрывает при правильной игре?