Задача 1:

Известно, что 3a + 2b + 3c = 0. Докажите, что уравнение ax³ + bx + c = 0 имеет хотя бы один корень на интервале (0,3).

(К.А.Кноп)

Задача 2: На окружности отмечены 2n точек так, что никакие три хорды с концами в этих точках не пересекаются в одной точке, лежащей внутри окружности. Разобьем отмеченные точки на n пар, и в каждой паре соединим точки отрезком. Число точек пересечения проведенных n отрезков назовем характеристикой разбиения. Найдите среднее арифметическое характеристик по всем разбиениям.

(Сообщил И. Богданов)

Задача 3:

В лагерь приехали m мальчиков и d девочек. Каждая девочка знакома не более, чем с 10 мальчиками, а каждый мальчик – не менее, чем с одной девочкой. Оказалось, что у каждого мальчика больше знакомых девочек, чем у любой знакомой с ним девочки – знакомых мальчиков. Докажите, что d ≥ 1,1m.

(Д.В. Карпов)

Задача 4:

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая l, вторично пересекающая окружности S₁ и S₂ в точках C и D соответственно. Точка K на окружности S₂ такова, что прямые CA и AK перпендикулярны. Точка L на окружности S₁ такова, что прямые DA и AL перпендикулярны. Точка P симметрична точке A относительно прямой l. Докажите, что точки A, K, L и P лежат на одной окружности.

(Д. Джукич)

Задача 5:

В вершинах куба записаны числа (в каждой – по одному). Каждую секунду каждое число заменяется на среднее арифметическое своих соседей. В какой-то момент все числа оказались равны исходным. Верно ли, что исходные числа равны между собой?

Задача 6:

Даны натуральное число k и многочлены R(x) и S(x) с целыми коэффициентами. Известно, что при любом целом x число R(S(x)) – x делится на k. Докажите, что число S(R(x)) – x тоже делится на k при любом целом x.

(И.И.Богданов)

Задача 7:

Различные натуральные числа a и b таковы, что (a – b)⁴ = a³ – b³. Докажите, что число 9a – 1 есть куб натурального числа.

(Д. Джукич)

Задача 8:

Имеются фигурки типа «лесенка» из трех ступеней, сложенные из 12 кубиков с ребром 1 (см. рис.). Найдите все натуральные n при которых из таких фигурок можно сложить куб со стороной n (ребра лесенки располагаются параллельно ребрам куба).

Задача 9:

Точки бесконечной полоски ширины 1 раскрашены в два цвета. Докажите, что для любого положительного числа r найдутся две точки одного цвета на расстоянии r.

(А.Я. Канель-Белов)

Задача 10:

В арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, есть член, десятичная запись которого содержит ровно две единицы (и, возможно, какие-то другие цифры). Докажите, что в ней есть член, десятичная запись которого содержит ровно 2000 единиц (и, возможно, какие-то другие цифры).

(А.С. Голованов)