Задача 1:

Докажите, что у каждого многогранника можно покрасить две грани в красный цвет, а две другие – в синий так, чтобы у красных граней было поровну сторон, и у синих – тоже.

Задача 2:

Строки таблицы 2000 × 2000 занумерованы различными натуральными числами (не обязательно идущими подряд). Столбцы этой таблицы занумерованы теми же числами. В каждой клетке таблицы записана разность номеров ее строки и столбца. Докажите, что чисел, делящихся на 3, в таблице больше, чем чисел, дающих при делении на 3 остаток 1.

Задача 3:

Даны 12 палочек, каждая из которых имеет длину 1. Как разрезать их на 39 частей, из которых затем удастся составить 13 равных прямоугольных треугольников (должны быть использованы все получившиеся части)?

Задача 4:

В строку выписан 1000000 целых чисел (не обязательно последовательных). Можно выбрать любые 2000 подряд стоящих чисел и изменить каждое из них на 1 (некоторые уменьшить на 1, а некоторые – увеличить на 1). Всегда ли несколькими такими операциями можно получить строку из одних нулей?

Задача 5:

AM – медиана треугольника ABC, MD и ME – биссектрисы треугольников BMA и CMA соответственно. Найдите отношение MD/ME, если  ∠ AMB =  α .

Задача 6:

В компании из 200 человек любых пятерых можно посадить за круглый стол так, чтобы каждый из них сидел между двух знакомых (предполагается, что если A знаком с B, то B знаком с A). Какое наименьшее число пар знакомых может быть в этой компании?

Задача 7:

Можно ли тремя прямолинейными разрезами разделить круг на 7 частей равной площади?

Задача 8:

Можно ли расставить в ряд натуральные числа от 1 до 97 (каждое по одному разу) в таком порядке, чтобы любые два соседних числа отличались ровно на 7 или на 9?

Задача 9:

Биссектрисы внутренних углов выпуклого четырехугольника ограничивают параллелограмм. Докажите, что исходный четырехугольник – тоже параллелограмм.

Задача 10:

Бывают моменты, когда стрелки часов направлены вдоль одной прямой. Могут ли две такие прямые быть перпендикулярными?