Задача 1:

Как разрезать таблицу по линиям клеток на пять прямоугольников, чтобы суммы чисел в каждом из них были равны? Укажите все способы и объясните, почему нет других.

Задача 2:

Дан квадратный трехчлен P(x) = x² + bx + c. Известно, что P( – 10)P(10) > 0 и |c| > 100. Докажите, что этот трехчлен не имеет корней, лежащих между числами  – 10 и 10.

Задача 3: Докажите, что натуральное число n является составным тогда и только тогда, когда существуют такие натуральные числа a, b, x и y, что a + b = n и .

Задача 4:

Точка P внутри треугольника ABC такова, что угол PBA равен углу PCA и втрое меньше суммы углов B и C треугольника. Докажите, что .

Задача 5:

В компании из n человек, где каждый знаком хотя бы с одним из остальных, у всех поровну знакомых (считается, что если A знаком с B, то и B знаком с A). Докажите, что из членов этой компании можно выбрать не менее, чем непересекающихся пар знакомых.

Задача 6: Точки K и L – проекции вершин A и C остроугольного треугольника ABC на биссектрису внешнего угла при вершине B. Точки H и M – основания высоты и медианы, проведенных из вершины B. Докажите, что точки H, M, K и L лежат на одной окружности.

Задача 7: Найдите все пары целых чисел (x,y), для которых x²(y – 1) + y²(x – 1) = 1.

Задача 8: На клетчатой бумаге отмечены 49 узлов сетки, расположенные в виде квадрата 6 × 6. Какое минимальное число единичных отрезков с концами в отмеченных узлах нужно провести, чтобы между любой парой соседних узлов был путь не длиннее 3?