ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Соревнования всероссийского уровня >> Кубок памяти Колмогорова >> IV кубок >> Турнир матбоёв >> 4-й тур >> Высшая лига. Бои за 1-4 места.Убрать решения
Соревнования всероссийского уровня. Кубок памяти Колмогорова. IV кубок. Турнир матбоёв. 4-й тур. Высшая лига. Бои за 1-4 места.

Задача 1:

Назовем разбиение клетчатой доски 200 × 200 на доминошки (то есть прямоугольники из двух клеток) удачным, если любое разбиение этой доски на доминошки имеет с данным четное число общих доминошек. Сколько существует удачных разбиений?

Задача 2:

В вершинах правильного 101-угольника расставлены единицы. За один ход разрешается выбрать четыре подряд стоящие числа, вычесть по 1 из двух средних и прибавить по 1 к двум крайним. Можно ли не более чем за 10000 таких ходов получить расстановку, в которой все числа, кроме одного, равны нулю?

Задача 3:

Для положительных a1, a2, …, an докажите неравенство , где S = a1 + a2 +  …  + an.

Задача 4:

В графе существует остовное дерево ровно с n висячими вершинами и остовное дерево ровно с m висячими вершинами, n ≤ k ≤ m. Докажите, что в этом графе существует остовное дерево ровно с k висячими вершинами.

Задача 5:

На окружности S выбраны точки A и B. Точка C – середина одной из дуг AB, а D – некоторая точка отрезка AB. Окружность S1 касается отрезков BD (в точке B1), CD и окружности S. Окружность S2 касается продолжения отрезка AB за точку B (в точке B2), окружности S (в точке K) и продолжения отрезка CD за точку D. Доказать, что  ∠ B1KB2 – прямой.

Задача 6:

Сколько существует натуральных решений уравнения

Задача 7:

Выпуклый многогранник M с n вершинами находится внутри куба с ребром 1. Все грани M – треугольники. Докажите, что существует тетраэдр объема не больше с вершинами в вершинах многогранника M.

Задача 8:

В последовательности натуральных чисел (xn), n ≥ 1, выполняется соотношение , где обозначает количество натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Найдите все такие натуральные k > 1, что при любом натуральном x1 > 1 последовательность (xn) ограничена.

Задача 9:

Окружность проходит через вершины A и C остроугольного треугольника ABC и пересекает стороны AB и BC в точках D и E. Точки D1 и E1 симметричны точкам D и E соответственно относительно основания высоты треугольника, опущенной на сторону AC. Прямые CD1 и AE1 пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠ AKC =  ∠ ABC.

Задача 10:

Найдите все функции такие, что f(x² + y²) = xf(x) + yf(y). (Здесь  – множество целых неотрицательных чисел.)



Задачная база >> Соревнования всероссийского уровня >> Кубок памяти Колмогорова >> IV кубок >> Турнир матбоёв >> 4-й тур >> Высшая лига. Бои за 1-4 места.Убрать решения