Задача 1: На стороне AD параллелограмма ABCD находится точка M, а на сторонах AB и CD взяты точки P и Q так, что отрезок PM параллелен диагонали BD, а QM параллелен диагонали AC. Докажите, что площади треугольников PBM и QCM равны.

Задача 2: Разложите на множители выражение: x(a² + ab + b²) + y(b² + bc + c²) – (x + y)(c² + ca + a²).

Задача 3: Натуральные числа m и n таковы, что m² + n² + m делятся на mn. Докажите, что m – точный квадрат.

Задача 4: Верно ли, что любое четное натуральное число можно представить в виде суммы двух натуральных слагаемых, каждое из которых состоит из нечетных цифр?

Задача 5: Внутри равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) отметили точки M, N, K (точка N – ближайшая к стороне AC) так, что MN || BC, NK || AB. Докажите, что AM + KC > MN + NK.

Задача 6: Ящики расставлены в бесконечный в обе стороны ряд. В начальный момент в одном из ящиков лежит шар, а остальные ящики пусты, и дополнительно имеется неограниченный запас шаров. Разрешается вынуть один шар из любого ящика, если он имеется, а взамен положить по одному шару в каждый из двух соседних с ним ящиков. После того, как неоднократно проделали эту операцию с шарами, оказалось, что несколько подряд расположенных ящиков содержат по одному шару, а все остальные пусты. В скольких ящиках лежат шары?

Задача 7: Какое наибольшее число ладей можно расставить на шахматной доске 8 × 8 так, чтобы каждая ладья находилась под боем не более, чем трех из остальных?

Задача 8: Рассматриваются все промежутки времени в июне, состоящие из целого числа дней. Найдите наибольшее возможное число промежутков, в течение каждого из которых случилось нечетное число дождливых дней.