Задача 1: В одном из углов шахматной доски лежит плоский картонный квадрат 2 × 2, а в противоположном углу – квадрат 1 × 1. Двое играющих по очереди перекатывают каждый свой квадрат через сторону: Боря – большой квадрат, а Миша – маленький. Боря выигрывает, если Мишин квадрат окажется на клетке, накрытой Бориным квадратом. Начинает Боря. Может ли он выиграть независимо от игры Миши?

Задача 2: Целые числа a, b, c, x, y, z таковы, что a + b + c = 0, x + y + z = 0. Докажите, что abz² + bcx² + cay²)(xyc² + yza² + zxa²) – четвертая степень целого числа.

Задача 3: Дан правильный треугольник, вершины которого отмечены. Отметить внутри него три точки и вне его три точки так, чтобы нашлось 9 правильных треугольников (включая данный) с вершинами в отмеченных 9 точках.

Задача 4: В стране, где 25 городов, три авиакомпании хотят, чтобы для любой пары городов все беспосадочные авиарейсы между этими городами осуществлялись только одной из авиакомпаний, однако любая авиакомпания могла доставлять пассажиров из любого города в любой другой с посадкой не более, чем в одном промежуточном городе. Докажите, что это осуществимо.

Задача 5: На столе лежит стопка открыток, причем все они «смотрят" картинкой вверх. Разрешается вынуть любую пару соседних открыток, перевернуть ее (так, что верхняя открытка окажется снизу, а нижняя – сверху) и вложить в то же место. Требуется с помощью нескольких таких операций расположить открытки в обратном порядке, и чтобы они по-прежнему лежали картинкой вверх. При каком количестве открыток в стопке это можно сделать?

Задача 6: В треугольнике ABC проведена биссектриса угла A, пересекающая серединный перпендикуляр к стороне BC в точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁. Как по точкам A₁, B₁, C₁, и восстановить треугольник ABC?

Задача 7: Тысячу солдат пересчитали и каждый ответил на вопрос, пойдет ли он в разведку. Солдат имеющий номер i (i = 1,2, … ,1000) сделал следующее утверждение: «Я пойду в разведку, если в отряде будет не менее i²/1000 человек, но не более i человек". Какую набольшую численность может иметь разведотряд?

Задача 8: Может ли конь сделать 8 ходов и вернуться в исходную клетку, побывав при этом на всех горизонталях и вертикалях шахматной доски?