Задача 1:

Можно ли записать в строку цифры от 1 до 9 в таком порядке, чтобы для любого k от 1 до 9 сумма первых k цифр в строке делилась на k?

Задача 2:

Клетки квадрата 10 × 10 раскрашены в черный и белый цвета так, что в любом прямоугольнике 1 × 3 одно и то же количество черных клеток. Кроме того, в любом квадрате 2 × 2 также одно и то же количество черных клеток. Докажите, что все клетки квадрата 10 × 10 одинакового цвета.

Задача 3:

Выписаны числа 1, 2,...,39, 40. Какое из чисел можно вычеркнуть, чтобы одно из оставшихся равнялось среднему арифметическому остальных? (Приведите все возможные варианты ответа.)

Задача 4:

Разрежьте прямоугольник 1 × 5 на 5 частей, из которых можно сложить квадрат.

Задача 5:

Сначала на доске написаны числа 1, 2, …, 10. За один ход разрешается увеличить любое число на доске на сумму цифр любого из выписанных (в том числе на сумму цифр его самого). Можно ли добиться, чтобы каждое число превратилось в 9999?

Задача 6:

После вечера танцев, где юноши танцевали с девушками, всех его участников спросили, со сколькими партнерами (партнершами) они танцевали. Были получены следующие ответы: 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6. Докажите, что кто-то ошибся.

Задача 7:

При каком наименьшем натуральном n в квадрате 4 × 4 можно расставить 16 различных натуральных чисел, не превосходящих n, так чтобы любые два соседних (находящихся в клетках, имеющих общую сторону или вершину) числа были взаимно просты?

Задача 8:

Петя, Вася и Толя решили сыграть в следующую игру. В кучке лежат 1999 спичек. Петя и Вася имеют право брать 1 или 2 спички, а Толя – 1, 2 или 3. При этом Петя и Вася объединяют свои усилия против Толи, а Толя имеет право выбрать очередь своего хода – первый, второй или третий. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Может ли Толя выбрать себе такую очередь, что при правильной игре выиграет именно он?