Задача 1:

Задача 2:

Задача 3:

На планете 1000 городов, среди которых есть столицы государств. Некоторые города связаны дорогами так, что любая дорога соединяет ровно два города, и от любого города до любого другого можно добраться по дорогам. При этом, чтобы попасть из одной столицы в другую, нужно проехать не менее 21 дороги. Докажите, что на планете не больше 90 столиц.

Задача 4:

Цифры от 0 до 9 выписали в строчку так, что среди любых трех подряд идущих цифр сумма каких-то двух равна 7. Чему может быть равна сумма первой и последней цифр?

Задача 5:

Обозначим через A сумму трех последовательных натуральных чисел, а через B – сумму трех следующих чисел. Может ли произведение AB равняться 222222222222 (12 двоек)?

Задача 6:

Как замостить какую-нибудь бесконечную полосу клетчатой бумаги равнобедренными «уголками» из пяти клеток?

Задача 7:

На столе лежат 9 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 9. Двое по очереди берут карточки со стола. Побеждает тот, кто первым сумеет составить из своих карточек, знаков арифметических действий ( + ,  – ,  × , : ) и скобок выражение, значение которого равно 14. Если по окончании игры такого выражения не может составить ни один из играющих, то считается, что игра закончилась вничью. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнер?

Задача 8:

При каком наибольшем k существуют k подряд идущих натуральных чисел таких, что их суммы цифр являются перестановкой k подряд идущих натуральных чисел?