Задача 1:

На плоскости нарисованы три окружности так, как показано на рисунке. Вначале в каждой из семи частей, на которые они делят плоскость, стоит по единице. За один ход разрешается выбрать одну из окружностей и либо сменить знаки всех стоящих внутри нее чисел, либо возвести все эти числа в квадрат. Можно ли за несколько таких ходов добиться ситуации, когда в центральной области стоит  – 1, а во всех остальных – единицы?

Задача 2:

Обозначим через  π (n) количество простых чисел, не превосходящих n. Докажите, что  π (2n) +  π (n! + n) ≥  π (n) +  π (n! + 2n).

Задача 3:

На планете 10000 городов, среди которых есть столицы государств. Некоторые города связаны дорогами так, что любая дорога соединяет ровно два города, и от любого города до любого другого можно добраться по дорогам. При этом, чтобы попасть из одной столицы в другую, нужно проехать не менее 200 дорог. Докажите, что на планете меньше 100 столиц.

Задача 4:

На доске написаны числа 2, 3, 9. Разрешается заменить любые два числа а и b на числа и . Может ли на доске когда-нибудь появиться число, меньшее 1?

Задача 5:

Верен ли признак равенства треугольников по двум высотам и медиане, проведенной к третьей стороне?

Задача 6:

От картонного треугольника прямолинейными разрезами один за другим отрезают одинаковые треугольники. Найдется ли треугольник, для которого это удастся сделать хотя бы 13 раз?

Задача 7:

На столе лежат 9 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 9. Двое по очереди берут карточки со стола. Побеждает тот, кто первым сумеет составить из своих карточек, знаков арифметических действий ( + ,  – ,  × , : ) и скобок выражение, значение которого равно 40. Если по окончании игры такого выражения не может составить ни один из играющих, то считается, что игра закончилась вничью. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнер?

Задача 8:

При каком наибольшем k существуют k подряд идущих натуральных чисел таких, что их суммы цифр являются перестановкой k подряд идущих натуральных чисел?