Задача 1: На шахматной доске 20 × 20 стоят несколько ладей, а на всех полях, которые ими не бьются, стоят кони. Никакие фигуры не бьют друг друга. Какое наибольшее количество коней может быть на доске?

Задача 2: Какие значения может принимать число x, если выполняются такие равенства: ?

(Украинская олимпиада, 1987)

Задача 3: Десять гирь весом 1, 2, …, 10 г разделили на две группы так, что в каждой группе больше одной гири. Докажите, что можно положить на одну чашу весов какие-то гири (одну или несколько) из одной группы, а на другую – какие-то гири из другой группы так, что весы окажутся в равновесии.

(И.Рубанов, К.Кноп)

Задача 4: В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB и AB = BC = BD. Докажите, что CD = CO (O – точка пересечения диагоналей).

(Л.Медников)

Задача 5: Одно и то же натуральное число поделили с остатком на 3, на 18 и на 48. Сумма остатков оказалось равна 39. Найдите остаток от деления этого числа на 3.

(К.Кохась)

Задача 6: В клетках таблицы 100 × 100 расставлены попарно различные числа. Каждую минуту каждое из чисел меняется на наибольшее из чисел, стоящих в соседних с ним по стороне клетках. Могут ли через 4 часа все числа в таблице оказаться одинаковыми?

(Украинская олимпиада, 593, вариант)

Задача 7: Все ученики математического кружка, кроме троих, учатся в 5 классе, все, кроме троих, учатся в шестом классе, и все, кроме двоих, семиклассники. Сколько всего человек занимается в этом кружке?

(126, Жюри)

Задача 8: Написанное на доске число можно умножить или разделить на или . Можно ли из 1 получить другое целое число?

(А.Проскурников$+$жюри)