Задача 1:

Задача 2:

В комнате находится 10 человек, некоторые из них всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. На каждого из них надета черная или белая шапка. Каждый из них сказал «Среди остальных 9 человек (всех, кроме меня) ровно 3 носят черные шапки». Сколько из них может быть лжецами?

Задача 3:

k и n – натуральные числа, большие 1. В группе из kn человек каждый знаком более, чем с (k – 1)n из остальных. Докажите, что можно выбрать k + 1 человека так, что все они знакомы друг с другом.

Задача 4:

Внутри квадрата ABCD взята такая точка P, что AP  =  AP. Прямая AP пересекает отрезок BC в точке K. Прямая BP пересекает отрезок CD в точке L. Докажите, что a) BK > CL. б) BK > 2CL.

Задача 5:

Докажите, что из любых 9 различных трехзначных чисел можно выбрать несколько и составить из них, используя только знаки четырех арифметических действий, выражение, значение которого больше 2, но меньше 3.

Задача 6:

2^p + 3^p = aⁿ, где a и n – натуральные числа, а p – простое. Докажите, что n = 1.