Задача 1: На III Турнире юных математиков каждый участник был знаком с 13 участниками Турнира. На IV Турнире юных математиков количество участников возросло на 67. Может ли каждый из них быть знакомым с 17 другими участниками?

Задача 2: Высоты треугольника ABC пересекаются в точке O, и OC = AB. Найдите угол при вершине C.

Задача 3: Плоскость тремя семействами параллельных прямых разбита на равносторонние треугольники. Найдется ли замкнутая цепочка из ста различных треугольников, в которой каждые два соседних треугольника имеют общую сторону?

Задача 4: Шесть различных прямых на плоскости не все параллельны и не все проходят через одну точку. Какое наименьшее возможное количество точек пересечения этих прямых.

Задача 5: На доске написано 100 целых чисел. Разрешается взять два различных числа и написать вместо каждого из них целую часть их среднего арифметического. Докажите, что после нескольких таких операций все числа станут равными.

Задача 6: Каждая из клеток квадратного листа клетчатой бумаги размером 100 × 100 закрашена в белый или черный цвет, при этом количество черных и белых клеток одинаково. Докажите, что этот квадрат можно разрезать по линиям сетки на два многоугольника так, чтобы в каждом из них число белых и черных клеток было одинаково. Примечание: в многоугольнике не должно быть дырок.

Задача 7: В выпуклом n-угольнике провели все диагонали. Для каждой из вершин многоугольника считают сумму углов между всеми диагоналями, выходящими из этой вершины. Найдите сумму всех этих сумм.

Задача 8: Произведение трех целых чисел равно их сумме. Найдите все такие тройки.

Задача 9: В таблицу 4 × 5 записаны числа 1, 2,…, 20. Какое наибольшее число раз при сложении чисел в столбцах и строках может получиться одно и то же число?

Задача 10: В волейбольном турнире участвовало 12 команд. Верно ли, что найдутся три команды А, В, С такие, что каждая из оставшихся команд турнира проиграла хотя бы одной из них. Ничьих в волейболе не бывает.