Задача 1:

Восемь футбольных команд провели турнир в один круг (каждая сыграла с каждой по одному разу). Какое наименьшее число очков гарантирует команде место в четверке лидеров? В современном футболе за победу дают 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.

Задача 2:

Существуют ли 100 таких различных натуральных чисел, что квадрат каждого из них делится на сумму всех чисел?

Задача 3:

Натуральные числа от 1 до 127 разбили на несколько (больше, чем на одну) групп с равными суммами. Докажите, что этих групп – четное число.

Задача 4:

В матбое участвовали три команды. Перед боем игрок Иванов перешел из первой команды во вторую, игрок Петров – из второй команды в третью, а игрок Сидоров – из третьей команды в первую. После этого средний возраст первой команды увеличился на неделю, второй – увеличился на две недели, а третьей – уменьшился на 4 недели. Известно, что в первой и второй командах по 12 игроков. Сколько игроков в третьей команде?

Задача 5:

На kn карточках с двух сторон написаны числа от 1 до n по 2k раз каждое. Докажите, что эти карточки можно положить на стол так, чтобы сверху каждое число было написано ровно k раз.

Задача 6:

В стране 201 город, из каждого выходит ровно 10 дорог, причем из любого города можно доехать до любого другого. Докажите, что можно выбрать 20 городов, никакие два из которых не соединены дорогой.

Задача 7:

Решите в простых числах уравнение p² + q = 5q² + p.

Задача 8:

В языке привидений всего две буквы: Ы и У. Два слова означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи некоторого числа следующих операций: вычёркивание (соответственно вставка) десяти одинаковых букв, идущих подряд, замена набора стоящих рядом букв УЫ набором ЫУУ или наоборот. Докажите, что среди любого 101 слова языка привидений найдутся два, означающие одно и то же.