Задача 1:

Для каких n числа от 1 до n можно записать в строчку в таком порядке, чтобы для любого k от 1 до n сумма первых k чисел строки делилась на k?

Задача 2:

Петя, Вася и Толя решили сыграть в следующую игру. В кучке лежат 1999 спичек. Петя и Вася имеют право брать 1 или 2 спички, а Толя – 1, 2 или 3. При этом Петя и Вася объединяют свои усилия против Толи, а Толя имеет право выбрать очередь своего хода – первый, второй или третий. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Может ли Толя выбрать себе такую очередь, что при правильной игре выиграет именно он?

Задача 3:

Какое наибольшее число ладей можно расставить на шахматной доске 8 × 8 так, чтобы каждая ладья била нечетное число ладей?

Задача 4:

Равнобедренный прямоугольный треугольник AMN (AM = MN) расположен в квадрате ABCD так, что точка M лежит внутри квадрата, а точка N – на стороне CD. Докажите, что точка M лежит на диагонали BD.

Задача 5:

После вечера танцев, где юноши танцевали с девушками, всех его участников спросили, со сколькими партнерами (партнершами) они танцевали. Были получены следующие ответы: 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6. Докажите, что кто-то ошибся.

Задача 6:

Клетки кубика Рубика раскрашены в черный и белый цвета так, что в любом прямоугольнике 1 × 4 одно и то же количество черных клеток. Докажите, что кубик либо весь черный, либо весь белый.

Задача 7:

При каком наименьшем натуральном n в квадрате 5 × 5 можно расставить 25 различных натуральных чисел, не превосходящих n, так чтобы любые два соседних (находящихся в клетках, имеющих общую сторону или вершину) числа были взаимно просты?

Задача 8:

Положительные числа a, b и c таковы, что a ≥ b ≥ c и a + b + c ≤ 1. Докажите, что a² + 3b² + 5c² ≤ 1