Задача 1:

У марсианских часов три стрелки. Первая стрелка обходит циферблат за полтора земных часа, вторая – за три, третья – за шесть. Первую стрелку поставили вертикально, вторую сместили на 120 градусов, а третью – на 240 градусов по часовой стрелке относительно первой. После этого часы запустили и стали считать, сколько раз встречаются две стрелки. Через сколько земных часов после запуска произойдет 1999-я такая встреча?

Задача 2:

Дан решетчатый параллелепипед (см. рисунок), где длина каждого отрезка равна 1 см. В точке A сидит таракан. Какое наибольшее расстояние он может пройти по пути в точку B, не проходя ни через какую точку дважды?

Задача 3:

Сумма двух чисел равна сумме их квадратов. Докажите, что сумма этих чисел не больше 2.

Задача 4:

Набор из нескольких натуральных чисел обладает таким свойством, что любое число, умноженное на сумму всех остальных, делится на сумму всех чисел. Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на сумму этих чисел.

Задача 5:

На стороне AC равностороннего треугольника ABC с центром O выбрана точка M. Точки N и K – основания перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны AB и BC соответственно. Докажите, что прямая MO делит отрезок NK пополам.

Задача 6:

В государстве 100 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем есть не менее четырех циклических маршрутов. Докажите, что есть циклический маршрут, проходящий не более, чем через 51 город.

Задача 7:

Даны три отрезка длин 1, 2, 3. Отрезок длины 3 как-то разбили на 100 других. Докажите, что среди получившихся 102 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

Задача 8:

Можно ли натуральные числа от 1 до 1999 разбить на две группы так, чтобы произведение всех чисел одной группы равнялось сумме всех чисел второй группы?