Задача 1:

Имеются чашечные весы и четыре гири, сделанные из одинакового металла. Одна из них большая, другая поменьше, третья ещё меньше, а четвёртая – самая маленькая. Гири по очереди ставятся на чашки весов (на каждом шаге со стола берётся любая гиря и ставится на любую чашку весов). Известный хвастун Петя Сидоров не знает точного веса гирь, но заявляет, что сможет ставить гири на весы так, что сначала три раза перевесит левая чашка, а последний раз – правая. Стоит ли ему верить?

Задача 2:

В трапеции ABCD с основанием AD AB = BC, AC = CD и BC + CD = AD. Найдите углы трапеции.

Задача 3:

Сколькими способами из чисел 1, 2,  … , 2n можно выбрать два или больше так, чтобы никакие два выбранных числа в сумме не давали 2n + 1?

Задача 4:

Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c, d и e выполнено неравенство

a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e)

Задача 5:

В треугольнике ABC BC = 2AC, а D – такая точка на стороне BC, что  ∠ DAC =  ∠ ABC. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M. Докажите, что AM = AB.

Задача 6:

p и q – нечетные простые числа. Сумма натуральных чисел a и b равна q, а a^p + b^p – точный квадрат. Докажите, что p = q.