Задача 1:

Назовем число совершенненьким, если его цифры можно разбить на две группы так, что сумма цифр в первой группе равна сумме цифр во второй. Докажите, что среди любых трех подряд идущих чисел хотя бы одно не является совершенненьким.

Задача 2:

Два фокусника показывают зрителю такой фокус. У зрителя есть 78 карточек, пронумерованных числами от 1 до 78. Он выбирает из них 40 карточек и передает первому фокуснику. Тот возвращает зрителю две из них. Зритель добавляет к этим двум одну из оставшихся у него 38 карточек и, перемешав, передает эти три карточки второму фокуснику. Как фокусникам договориться, чтобы второй всегда с гарантией мог определить, какую из трех карточек добавил зритель?

Задача 3:

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF диагонали AD, BE и CF равны и пересекаются в одной точке. Оказалось, что AB = DE, a BC = EF. Докажите, что CD = FA.

Задача 4:

В группе из 100 людей среди любых троих есть человек, знающих обоих других. Докажите, что из этой группы можно выбрать компанию из 50 человек, в которой все знакомы друг с другом.

5 Докажите, что для положительных чисел x, y, z, произведение которых равно 1, выполнено неравенство (x + y)²(y + z)²(z + x)² > (x + y + z)³.

Задача 6:

В треугольнике ABC  ∠ B = 120. BL – биссектриса этого треугольника. K и M – основания перпендикуляров, опущенных из точки L на стороны AB и AC соответственно. Докажите, что 2KM < AC.

Задача 7:

Некоторое число является суммой 100 идущих подряд натуральных чисел. Докажите, что оно является и суммой m идущих подряд натуральных чисел при некотором m большем 1 и меньшем 100?

Задача 8:

Дети гуляют во дворе детского сада. Тех из них, у кого на ногах надето поровну носков, в 5 раз меньше, чем тех, у кого не поровну. Воспитательница велела детям переодеться, и каждый ребенок снял с одной ноги носок и надел его на другую ногу. Теперь тех, у кого носков на ногах поровну, стало в 2 раза меньше, чем тех, у кого не поровну. Могло ли быть так, что в начале прогулки более чем у половины детей на одной ноге было ровно на один носок меньше, чем на другой?