Задача 1: О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

(А.Голованов)

Задача 2:

Задача 3: В классе каждый ученик — либо болтун, либо молчун, причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. Болтун молчит, если в кабинете находится нечётное число его друзей — молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.

(С.Берлов)

Задача 4: Многогранник описан около сферы. Назовём его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.

(М.Евдокимов)

Задача 5: Существуют ли действительные числа a, b и c такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство |x + a| + |x + y + b| + |y + c| > |x| + |x + y| + |y|?

Задача 6: Клетки квадрата 50 × 50 раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (то есть сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета.

(А.Голованов, Е.Сопкина)

Задача 7:

Задача 8: Для бесконечного множества значений многочлена, существует более одной целой точки, в которой принимаются эти значения. Докажите, что существует не более одного целого значения многочлена, принимаемого ровно в одной целой точке.

(А.Голованов)