Задача 1: Отец с двумя сыновьями отправились навестить бабушку, которая живёт в 33 км от города. У отца есть мотороллер, скорость которого 25 км/ч, а с пассажиром — 20 км/ч (двух пассажиров на мотороллере перевозить нельзя). Каждый из братьев идёт по дороге со скоростью 5 км/ч. Как им надо действовать, чтобы через три часа всей компанией оказаться у бабушки?

(А.Шаповалов)

Задача 2: К натуральному числу A приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до A. Найдите A.

(И.Акулич)

Задача 3: На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A₁, B₁, C₁ так, что медианы A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ треугольника A₁B₁C₁ соответственно параллельны прямым AB, BC, CA. Определите, в каком отношении точки A₁, B₁, C₁ делят стороны треугольника ABC.

(А.Шаповалов)

Задача 4: Имеется 40 газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны . Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа k, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем k существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?

(И.Акулич)

Задача 5: Докажите, что из чисел от 1 до 15 нельзя выбрать два числа, произведение которых равно сумме остальных тринадцати.

(Н.Агаханов)

Задача 6: Дан треугольник ABC. Точка A₁ симметрична вершине A относительно прямой BC, а точка C₁ симметрична вершине C относительно прямой AB. Докажите, что если точки A₁, B и C₁ лежат на одной прямой и C₁B = 2A₁B, то угол CA₁B — прямой.

(Н.Агаханов)

Задача 7: В коробке лежит полный набор костей домино. Два игрока по очереди выбирают из коробки по одной кости и выкладывают их на стол, прикладывая к уже выложенной цепочке с любой из двух сторон по правилам домино. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

(Д.Храмцов)

Задача 8: Из 54 одинаковых единичных картонных квадратов сделали незамкнутую цепочку, соединив их шарнирно вершинами. Любой квадрат (кроме крайних) соединён с соседями двумя противоположными вершинами. Можно ли этой цепочкой квадратов полностью закрыть поверхность куба 3 × 3 × 3?

(А.Шаповалов)