Задача 1: Длины сторон многоугольника равны a₁, a₂, …, a_n. Квадратный трехчлен f(x) таков, что f(a₁) = f(a₂ +  …  + a_n). Докажите, что f(A) = f(B), где A — сумма длин нескольких сторон многоугольника, B — сумма длин остальных его сторон.

(Н.Агаханов)

Задача 2: В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K. Окружность s₁ проходит через точку K и касается прямых AB и AD (s₁ вторично пересекает диагональ AC на отрезке AK). Окружность s₂ проходит через точку K и касается прямых CB и CD (s₂ вторично пересекает диагональ AC на отрезке KC). Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s₁ и s₂, будут параллельны между собой.

(Т.Емельянова)

Задача 3: Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов так, что: если числа a, b и c (не обязательно различные) удовлетворяют условию 2000(a + b) = c, то все они либо одного цвета, либо трех разных цветов.

(Ю.Лифшиц)

Задача 4: Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?

(Ю.Лифшиц)

Задача 5: a, b и c — целые числа, c ≠ b. Известно, что квадратные трехчлены ax² + bx + c и (c – b)x² + (c – a)x + (a + b) имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что a + b + 2c делится на 3.

(А.Храбров)

Задача 6: Дан треугольник ABC. На прямой AC отмечена точка B₁ так, что AB = AB₁, при этом B₁ и C находятся по одну сторону от A. Через точки C, B₁ и основание биссектрисы угла A треугольника ABC проводится окружность  ω , вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника ABC, в точке Q. Докажите, что касательная, проведенная к  ω  в точке Q, параллельна AC.

(Л.Емельянов)

Задача 7: Множество клеток на клетчатой плоскости назовем ладейно связным, если из любой его клетки можно попасть в любую другую, двигаясь по клеткам этого множества ходом ладьи (ладье разрешается перелетать через поля, не принадлежащие нашему множеству). Докажите, что ладейно связное множество из 100 клеток можно разбить на пары клеток, лежащих в одной строке или в одном столбце.

(И.Певзнер)

Задача 8: На окружности расположена тысяча непересекающихся интервалов, и в каждом из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждого интервала делится на произведение чисел интервала, соседнего слева. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?

(В.Сендеров)