Задача 1:

Задача 2: Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трехчлена f = x² + ax + b: Петя на 1, Коля — на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трехчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети?

(Н.Агаханов)

Задача 3: В параллелограмме ABCD на сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = NC, Q — точка пересечения отрезков AN и CM. Докажите, что DQ — биссектриса угла D.

(Л.Емельянов)

Задача 4: Мишень представляет собой треугольник, разбитый тремя семействами параллельных прямых на 100 равных правильных треугольничков с единичными сторонами. Снайпер стреляет по мишени. Он целится в треугольничек и попадает либо в него, либо в один из соседних с ним по стороне. Он видит результаты своей стрельбы и может выбирать, когда стрельбу заканчивать. Какое наибольшее число треугольничков он может с гарантией поразить ровно пять раз.

(Ю.Лифшиц)

Задача 5: В выпуклом пятиугольнике выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырехугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что в него попадут обе выбранные точки.

(В.Дольников)

Задача 6: Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?

(А.Храбров)

Задача 7: Окружность, вписанная в угол с вершиной O, касается его сторон в точках A и B, K — произвольная точка на меньшей из двух дуг AB этой окружности. На прямой OB взята точка L такая, что прямые OA и KL параллельны. Пусть M — точка пересечения окружности  ω , описанной около треугольника KLB, с прямой AK, отличная от K. Докажите, что прямая OM касается окружности  ω .

(С.Берлов, П.Кожевников)

Задача 8: Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.

(А.Голованов)