Задача 1: Три медианы одного треугольника равны соответственно трем медианам другого треугольника. Доказать, что эти треугольники равны.

Задача 2: На олимпиаде было предложено по 5 задач каждому участнику. 10 школьников решили 35 задач, причем Алик решил одну, Боря – две и Володя – три задачи. Доказать, что хотя бы один из школьников решил все задачи.

Задача 3: В вершинах квадрата записаны 4 неотрицательных числа. Известно, что сумма любых двух соседних чисел не больше 2. Найдите наибольшее возможное значение суммы каких-либо трех из этих чисел.

Задача 4: Известно, что функция f для всех x ∈ R определена и удовлетворяет уравнению 2f(x) + f(1 – x) = x².

а) найти такую функцию f, которая является квадратным трехчленом.

б) найти все такие функции f.

Задача 5: На доске выписаны все натуральные числа от 1 до k. разрешается на n-ом ходу вместо любых двух написанных чисел написать их сумму, если n нечетно, и модуль их разности, если n четно, и так до тех пор, пока на доске не останется одно число (1 ≤ n ≤ k). Какое наименьшее число может остаться на доске, если k = 92?