Задача 1: Найти все решения системы уравнений

Задача 2: Доказать, что площадь фигуры, ограниченной осями Ox, Oy, прямой и графиком функции , не меньше 1.

Задача 3: На сфере единичного радиуса расположены n ≥ 2 точек. Доказать, что сумма квадратов длин всех отрезков, определяемых этими точками, не превышает n². Может ли она быть равна n² ?

Задача 4: Последовательность неотрицательных чисел a_n такова, что

для всех n > 1. Доказать, что эта последовательность имеет предел.

Задача 5: Доказать, что если для всех x из интервала ( – 1;1) выполняется неравенство |a₁ sin b₁x + a₂ sin b₂x +  …  + a_n sin b_nx| ≤ | sin x|, то |a₁b₁ + a₂b₂ +  …  + a_nb_n| ≤ 1.

Задача 6: На доске написан многочлен третьей степени. Ученики по очереди подходят к доске. Каждому из них разрешается заменить написанный на доске многочлен суммой или разностью этого многочлена и его производной. В конце на доске оказался записанным тот жк самый многочлен, с которого начинали. Доказать, что хотя бы один из учеников ошибся, когда писал на доске свой многочлен.

Задача 7: Существует ли многочлен P(x) с целыми коэффициентами такой, что P(19) = P(81) = 1981, а P(1981) равно 19 или 81?

Задача 8: Доказать, что квадратную таблицу 2n × 2n можно заполнить числами  – 1, 0, +1 так, чтобы все суммы, которые мы получим, вычисляя сумму всех чисел каждой строки и каждого столбца, были разными.