ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Украинские соревнования >> Всеукраинская олимпиада школьников >> 1981, Симферополь >> 7 классУбрать решения
Украинские соревнования. Всеукраинская олимпиада школьников. 1981, Симферополь. 7 класс

Задача 1: Доказать, что если хотя бы одно из натуральных чисел a и b отлично от 1, то выполняется неравенство 3(a² + b²) ≥ 5(a + b).

Задача 2: На стадионе по трём параллельным дорожкам с постоянными скоростями движутся спортсмены A, B, C. В начальный момент времени площадь треугольника ABC равнялась 2 м² , а через 5 секунд она составляла 3 м². Какой станет эта площадь ещё через 5 секунд?

Задача 3: Пусть n — натуральное число. Может ли сумма цифр числа M = (n + 1)² + (n + 2)² +  …  + (n + 1980)² равняться 1981?

Задача 4: В параллелограмм A1A2A3A4 вписан четырёхугольник B1B2B3B4 так, что B1 ∈ A1A2, B2 ∈ A2A3, B3 ∈ A3A4, B4 ∈ A4A1 и

Доказать, что четырёхугольник B1B2B3B4 — параллелограмм, и что его центр совпадает с центром параллелограмма A1A2A3A4.

Задача 5: Часть клеток бесконечного листа бумаги в клетку покрашена в белый цвет, а остальные — в красный. Назовём клетку особенной, если её цвет отличается от цвета хотя бы одной из восьми соседних клеток. Доказать, что всегда найдётся хотя бы девять особенных клеток.

Задача 6: Доказать, что после приведения к общему знаменателю выражения

его числитель разделится на 13.



Задачная база >> Украинские соревнования >> Всеукраинская олимпиада школьников >> 1981, Симферополь >> 7 классУбрать решения