Задача 1: Чемпионат страны по футболу проходит в два круга. После окончания чемпионата оказалось, что числа очков, набранных командами, составляют арифметическую прогрессию и команда, занявшая последнее место, имеет 17 очков. Сколько команд принимало участие в чемпионате?

Задача 2: На бумажной ленте записана последовательность 1212…121…12, в которой 1982 цифры. На какое наибольшее число частей можно разрезать эту ленту, чтобы все числа на полученных при этом кусочках ленты были разными?

Задача 3: Найти все многочлены f(x) такие, чтобы равенство f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) выполнялось для всех x и y.

Задача 4: В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Известно, что центры окружностей, вписанной в треугольник ABK и описанной около треугольника ABC совпадают. Найти углы треугольника ABC.

Задача 5:

Задача 6: Имеется 100 разноцветных жемчужин. Известно, что жемчужин каждого цвета не более 50. Доказать, что из этих жемчужин можно составить ожерелье, в котором любые две соседние жемчужины имеют различный цвет.

Задача 7: Какое наибольшее число точек можно выбрать на отрезке [\,0;1] так, чтобы на любом отрезке [a;b], который является частью отрезка [\,0;1], было не больше 1 + 100(b – a)² точек?

Задача 8: На плоскости даны прямая l и точки A, P. Построить правильный треугольник ABC, сторона BC которого или её продолжение проходит через точку P, а центр описанной окружности лежит на прямой l.