Задача 1: Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000, не делящихся на 7.

Задача 2: Две окружности равных радиусов касаются в точке A. Окружность удвоенного радиуса содержит внутри себя одну из данных окружностей, касаясь её в точке B, а другую пересекает в точках P и Q. Доказать, что прямая AB проходит или через точку P, или через точку Q.

Задача 3: Доказать, что к графику функции y = x³ можно провести три касательные, пересекающихся в одной точке.

Задача 4: На плоскости даны такие точки и точка B, что если точку B симметрично отразить последовательно относительно точек (то есть сначала отобразить точку B в симметричную ей относительно A₁ точку B₁, затем точку B₁ отобразить в симметричную ей относительно A₂ точку B₂ и т.д.), то снова получим точку B (то есть точка B_2n совпадает с точкой B). Доказать, что если произвольную точку M плоскости симметрично отразить последовательно относительно точек A₂, A₃, …, A_2n, A₁, то получим саму точку M.

Задача 5: Доказать, что из равенств ac – a – c = b² – 2b и bd – b – d = c² – 2c следует равенство ad + b + c = bc + a + d.

Задача 6:

Задача 7: а) Какое наименьшее количество чисел может содержать набор , если в нём все числа различны и каждое из них: а) равно произведению двух других чисел из этого набора; б) равно сумме двух других чисел из этого набора.

Задача 8: На плоскости взяты 1984 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые 2 точки соединим отрезком и зафиксируем на нём одно из двух направлений. По каждому отрезку можно двигаться только в выбранном направлении. Доказать, что среди взятых точек найдётся такая, из которой можно попасть в любую другую точку, пройдя не более двух отрезков.