Задача 1: В треугольнике ABC обозначим через a, b и c стороны, лежащие соответственно против углов A, B и C. Доказать, что

Задача 2: Доказать, что существует такое целое n < 10⁹, что первые 7 цифр дробной части числа n π  будут нулями.

Задача 3: Доказать, что для произвольных действительных чисел a,b,c выполняется неравенство: a • 2 ^– a + b • 2 ^– b + c • 2 ^– c ≤ a • 2 ^– b + b • 2 ^– c + c • 2 ^– a.

Задача 4: Доказать, что для каждого нечётного натурального числа n существует пространственное тело, имеющее ровно n осей симметрии. Если пространственное тело имеет оси симметрии, может ли их количество быть чётным?

Задача 5: Известно, что уравнение x¹² – abx + a² = 0 имеет корень x₀ > 2. Доказать, что |b| > 64.

Задача 6: Известно, что натуральное число n не является точным квадратом. Доказать, что дробная часть числа удовлетворяет неравенству

Задача 7: Для каких натуральных чисел n из каждого набора n² чисел можно выбрать монотонную подпоследовательность длины n + 1 (то есть такую последовательность чисел , i₁ < i₂ <  …  < i_n + 1, которая удовлетворяет условию a_i1 ≤ a_i2 ≤  …  ≤ a_in + 1 или условию a_i1 ≥ a_i2 ≥  …  ≥ a_in + 1)?

Задача 8: На сторонах треугольника ABC вне его построили квадраты AA₂B₁B, BB₂C₁C и CC₂A₁A. Доказать, что серединные перпендикуляры к отрезкам A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.