Задача 1: Доказать, что для того, чтобы последовательно отраженный от двух сторон угла луч света сменил свое направление на противоположное, необходимо и достаточно, чтобы стороны угла были перпендикулярны.

Задача 2: В каждой клетке квадратной таблицы 101 × 101 записано число +1 или  – 1. Обозначим через a_i (i = 101) произведение всех чисел, записанных в i-й строке, а через b_i — произведение всех чисел, записанных в i-м столбце данной таблице. Доказать, что сумма всех чисел a_i и b_i не равна нулю.

Задача 3: Доказать, что для любого натурального числа n число f(n) = 5^2n + 1 • 2^n + 2 + 3^n + 2 • 2^2n + 1 делится на 19.

Задача 4: Внутри правильного треугольника ABC взята такая точка M, что  ∠ AMB = 150. Доказать, что AM² + BM² = CM².

Задача 5: Доказать, что уравнение x² + 2px + 2q = 0, где p и q — целые нечётные числа, не может иметь рациональных корней.

Задача 6: По окружности записано 100 разных чисел, не равных нулю. Доказать, что среди этих чисел найдутся такие три числа a, b, c, идущих подряд, что b(a – c) > 0.