Задача 1: Пусть a, b, c — такие неотрицательные числа, что a + b + c = 1. Доказать, что (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 – a)(1 – b)(1 – c)

Задача 2: Пусть f(x) — многочлен с целыми коэффициентами и f(1991) = 1. а) Доказать, что не существует таких целых чисел m, n и k, что f(m) = f(n) = f(k) = 0. б) Остается ли утверждение а) правильным, если ограничиться лишь двумя целыми числами m, n?

Задача 3: Доказать, что из произвольного равнобедренного треугольника, площадь которого равна S, можно вырезать три равных треугольника, площадь каждого из которых больше .

Задача 4: В пространстве даны три прямые a, b и c. На прямой a взята точка M₀. Из точки M₀ провели перпендикуляр к прямой b до пересечения с нею в точке M₁. Из точки M₁ провели перпендикуляр к прямой c до пересечения с нею в точке M₂. Из точки M₂ провели перпендикуляр снова к прямой a до пересечения с нею в точке M₃ и т.д. Доказать, что если M₆ = M₀, то и M₃ = M₀.

Задача 5: Все числа больше 1 и для любого k, 1 ≤ k ≤ n – 1, выполняется неравенство |a_k + 1 – a_k| < 1. Доказать, что

Задача 6: Из n³ одинаковых кубиков сложен куб с ребром n, в котором произвольно отмечены более 1,5n² одинаковых кубиков. Доказать, что найдётся прямоугольный треугольник, вершинами которого являются центры отмеченных кубиков, каждый катет которого параллелен некоторому ребру куба.

Задача 7: Делегаты съезда должны избрать комиссию. Каждый делегат избрал 10 лиц из списка кандидатур. Комиссия устраивает делегата, если в ней есть хотя бы одно избранное им лицо. выяснилось, что для любых 6 делегатов можно найти устраивающую их комиссию из двух лиц. Доказать, что можно избрать комиссию из 10 лиц, устраивающую всех делегатов.

Задача 8: На плоскости  α  выбрали произвольным образом точку A и окружность  γ . От каждой точки B окружности отложили перпендикуляр к плоскости  α , длина которого равна квадрату длины отрезка AB (все перпендикуляры отложены в одну сторону от плоскости  α ). Доказать, что концы этих перпендикуляров лежат в одной плоскости.