Задача 1:

Задача 2: Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — биссектрисы треугольника ABC. Доказать, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда треугольник ABC правильный.

Задача 3: Доказать, что не существует действительных чисел x, y, z, удовлетворяющих системе уравнений

Задача 4: Дана конечная последовательность действительных чисел . Член a_k этой последовательности назовём отмеченным, если среди чисел a_k, a_k + a_k + 1, …, a_k + a_k + 1 +  …  + a_n хотя бы одно положительно. Доказать, что сумма всех отмеченных чисел положительна.

Задача 5: Найти наибольшее натуральное значение n, для которого неравенство  sin ⁿx +  cos ⁿx > 1/2 выполняется для всех x из отрезка [\,0; π /2].

Задача 6: Точки A и B лежат на сторонах выпуклого многоугольника F, а точка A₁ удовлетворяет соотношению . Обозначим через F₁ выпуклый многоугольник наименьшей площади, содержащий многоугольник F и точку A₁. Доказать, что площадь многоугольника F₁ не больше удвоенной площади многоугольника F.

Задача 7: Доказать, что для произвольных чисел a, b, c, d из отрезка [1;2] выполняется неравенство

Задача 8: На шахматной доске 100 × 100 расположены 800 четырёхклеточных фигурок, имеющих форму буквы «T» в одной из возможных ориентаций (см.рис. ). Каждая такая фигурка полностью накрывает 4 клетки доски и никакие две фигурки не накрывают одну и ту же клетку. Доказать, что на доску можно положить ещё одну фигурку так, чтобы она полностью накрыла 4 свободные клетки.