Задача 1: Решить уравнение  ctg ²x =  sin ²x + [ cos ²x], где y и [y] — соответственно дробная и целая части числа y.

Задача 2: Двое игроков по очереди вписывают в прямоугольную таблицу 1993 × 1994 (1994 столбца) числа 0 или 1. Потом находят суммы чисел каждой строки и каждого столбца. Пусть S₁ — наибольшая среди сумм по строкам, а S₂ — наибольшая среди сумм по столбцам. Если S₁ > S₂, то выигрывает первый, а если S₂ ≥ S₁, то выигрывает второй. Кто выиграет при правильной игре – начинающий игру или его партнёр?

Задача 3: Функция f(x) определена на множестве натуральных чисел и принимает натуральные значения. Следует ли из справедливости равенства f(x + y) = f(f(x) + f(y)) для любых x и y, что всегда f(x + y) = f(x + f(y))?

Задача 4: В треугольнике ABC углы A и B равны 72. Биссектриса AN и медиана AM пересекают биссектрису BL в точках E и D соответственно. Доказать, что LD • LE = ED • LB.

Задача 5: Доказать, что для положительных чисел a, b и c значение выражения a²b + b²c + c²a не больше хотя бы одного из чисел ab² + bc² + ca² и a³ + b³ + c³.

Задача 6: Две прямые разбивают квадрат на четыре фигуры равной площади. Доказать, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами нового квадрата.

Задача 7: Построить многочлен с целыми коэффициентами (не равный тождественно нулю), одним из корней которого является число .

Задача 8: Существует ли выпуклый пятиугольник F, отличный от правильного, такой, что пятиугольник G, вершинами которого являются внутренние точки пересечения диагоналей F, подобен пятиугольнику F?