Задача 1:

Задача 2: Пусть a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, p — его полупериметр. Доказать неравенство

Задача 3: На плоскости заданы 2n точек (n — натуральное число). Двое игроков по очереди выбирают по одной точке до тех пор, пока точки не закончатся. Проигрывает тот, у кого сумма расстояний между выбранными им точками меньше, чем соответствующая сумма соперника. Может ли кто-то из игроков обеспечить себе выигрыш? (Считать, что все расстояния между данными точками и все суммы расстояний в разных группах точек попарно различны).

Задача 4: Даны две перпендикулярные скрещивающиеся прямые a и b. Они пересекают три данные различные параллельные плоскости соответственно в точках A₁ и B₁, A₂ и B₂, A₃ и B₃. Доказать, что три сферы, построенные на отрезках A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃ как на диаметрах, пересекаются по одной окружности.

Задача 5: Известно, что x и y –действительные числа, удовлетворяющие условию x + y = 1. Какое наименьшее значение может принимать выражение

Задача 6: На числовой прямой каждой целой точке поставлено в соответствие некоторое действительное число, причём точке 0 соответствует число 1,993. Доказать, что для некоторых 100 различных точек модуль суммы соответствующих им чисел больше 1.

Задача 7: Даны две разных касающихся окружности. В большей проводится произвольный диаметр AB и рассматриваются длины касательных, проведенных из точки A к меньшей окружности и из точки B к меньшей окружности. Доказать, что сумма квадратов длин этих касательных не зависит от выбора диаметра AB.

Задача 8: В языке племени Мумбо-Юмбо используются только две буквы — М и Ю. Все слова состоят ровно из 11 букв. Два слова считаются одинаковыми тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые буквы более чем на пяти местах. Какое наибольшее количество разных слов может быть в языке племени Мумбо-Юмбо?