Задача 1: При каких натуральных m число 1991^m – 1 делится на 2^m?

Задача 2: У Пети циркуль с раствором ножек 10 см и линейка без делений длиной 20 см. Сможет ли он соединить отрезком две точки на расстоянии 1 метр?

Задача 3: В городе Плюралийске 30 районов, 30 параллельных улиц, пересекающих эти районы и 30 политических партий. Каждая партия хочет иметь по одному райкому в каждом районе и на каждой улице. Мэр города, идя навстречу политикам, уже выделил 899 зданий под райкомы. Всегда ли он сможет выделить последнее здание, удовлетворив все партии?

Задача 4: На плоскости лежат правильный восьмиугольник и круг. Восьмиугольник можно поворачивать вокруг центра и симметрично отражать относительно любой его стороны. Докажите, что за конечное число таких операций можно добиться, чтобы центр восьмиугольника попал в данный круг.

Задача 5: Четные натуральные числа a и b получаются друг из друга некоторой перестановкой цифр. Докажите, что суммы цифр чисел a/2 и b/2 равны.

Задача 6: В прямоугольном параллелепипеде из одной вершины проведено 3 диагонали граней. Докажите, что сумма углов между этими диагоналями равна 1800.

Задача 7: На окружности длины 1 заданы две конечные системы дуг. Общая длина дуг каждой из систем 1/2. Докажите, что одну из систем можно повернуть вокруг центра окружности так, что общая длина ее пересечения с дугами второй системы будет не меньше 1/4.

Задача 8: Докажите для каждого натурального n неравенство:

Задача 9: Пусть P и Q – середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD; M и N – середины диагоналей AC и BD. Докажите, что если прямые MN и PQ перпендикулярны, то длины отрезков BC и AD равны.

Задача 10: Докажите, что для любого натурального n > 80 куб можно разрезать на n кубов (среди которых могут быть и одинаковые).