Задача 1: Отображения круга в себя таково, что для любых двух точек расстояние между их образами не меньше расстояния между самими точками. Докажите, что это отображение – поворот или осевая симметрия.

Задача 2: В четырехугольнике все стороны и диагонали не длиннее одного сантиметра. Каков наибольший возможный периметр этого четырехугольника?

Задача 3: Может ли произведение трех последовательных натуральных чисел равняться некоторой степени натурального числа (квадрату, кубу и т.д.)?

Задача 4: В стране Плюралии 1990 политических партий. В каждой состоит более половины населения. Докажите, что начальнику тайной полиции хватит 10 осведомителей, чтобы получать информацию о деятельности всех партий.

Задача 5: Докажите, что пересечение трех прямых круговых цилиндров радиуса 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются) содержится в некотором шаре радиуса .

Задача 6: В каждой клетке шахматной доски написано целое число от 1 до 64, причем в разных клетках – разные числа. За один вопрос можно указать любое множество полей и узнать совокупность стоящих в них чисел. За какое наименьшее число вопросов можно узнать число в каждой клетке?

Задача 7: На координатной плоскости даны три системы прямых: x = n, y = m, x + y = k, где m, n, k – целые. Плоскость ими разбивается на части, некоторые из которых – треугольники. Пусть T(R) – это число треугольных частей, а M(R) – общее число частей, лежащее в круге x² + y² = R. Найдите .

Задача 8: Назовем выпуклый многоугольник константным, если сумма расстояний от точки внутри него до прямых, содержащих стороны, постоянна. Докажите, что многоугольник A₁A₂ … A_n константен тогда и только тогда, когда

Задача 9: Докажите, что 1¹ºº + 2¹ºº + ... + 999999¹ºº делится на 100000.

Задача 10: В последовательности a_n (n = 1,2, … ) a₁ – произвольное натуральное число, а каждое следующее число равно предыдущему, сложенному с суммой его цифр. Докажите, что при бесконечно многих значениях n сумма цифр числа a_n не превосходит .