Задача 1: Известно, что 16m = 61n, где m, n – натуральные. Докажите, что m+n – составное число.

Задача 2: Обозначим через a(n) число способов, которыми данное натуральное число n можно представить в виде суммы нескольких (быть может, одного) натуральных слагаемых, больших единицы, с учетом их порядка. Докажите для каждого n тождество: a(2) + a(4) + ... + a(2n) = a(2n + 1).

Задача 3: Найдите все многочлены P(x) такие, что для каждого x выполняется равенство: xP(x – 1) = (x – 10)P(x).

Задача 4: Пусть a_n – число нулей, которыми оканчивается число n! = 1 × 2 ×  …  × n в десятичной записи. Докажите, что существует и вычислите его.

Задача 5: Докажите, что алгебраическое уравнение xⁿ + a₁x^n – 1 + a_n – 1x + a_n = 0, среди коэффициентов которого встречаются только числа  ± 1 и 0, не имеет действительных корней, модуль которых превышает 2.

Задача 6: Центры трех попарно касающихся внешним образом окружностей лежат в вершинах прямоугольного треугольника. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных и содержащей их внутри себя, если периметр треугольника равен p.

Задача 7: На плоскость положили четыре прямых круговых конуса с общей вершиной и одинаковой образующей (но, вообще говоря, с различными радиусами основания) так, что каждый касается двух других. Докажите, что точки касания их оснований лежат на одной окружности.

Задача 8: Десять волейбольных команд сыграли между собой турнир в один круг. За выигрыш давалось одно очко, за проигрыш – 0. Докажите, что если команда, занявшая i-е место, набрала x_i очков, то x₁ + 2x₂ + ... + 10x₁₀ ≥ 165.

Задача 9: В США, начиная с 1950 года, издается журнал «Journal of Unclear Physics", который выпускается нерегулярно, но не реже, чем 5 номеров за три года. Докажите, что если журнал будет издаваться достаточно долго, то в некотором году его номер совпадет с номером года.

Задача 10: Докажите, что при каждом целом k ≥ 0 число 2^6k + 1 + 3^6k + 1 + 5^6k + 1 делится на 7.