Задача 1: При каких натуральных m существует периодическая последовательность (a_i) такая, что a_n + 1 = a_n/m + 1?

Задача 2: На плоскости дан угол, внутри которого отмечена точка O. Проведите через O такой отрезок BC, что значение выражения максимально, если точки B и C лежат на сторонах угла или их продолжениях.

Задача 3: Существует ли натуральное число n > 10\,000\,000\,000 такое, что все простые делители числа n³ – 1 меньше n?

Задача 4: Существует ли выпуклый 1\,000\,000\,000-угольник с вершинами, имеющими целочисленные координаты, диаметр которого не превосходит 1\,000\,000\,000\,000?

Задача 5: Царь страны Суесловии некоторые слова объявил скверными. При этом для каждого n скверных слов длины n оказалось не более одного. Докажите, что если алфавит Суесловии состоит из пяти букв, то можно составить сколь угодно длинную речь, которая, будучи напечатанной с любой расстановкой пробелов, не содержала бы скверных слов.

Задача 6: Можно ли расставить числа n в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними?

Задача 7: Дан вписанный четырехугольник ABCD. E – точка пересечения его диагоналей, а A′, B′, C′, D′ – основания перпендикуляров, опущенных из E на стороны AB, BC, CD, DA соответственно. Докажите, что прямые A′B′, C′D′ и AC пересекаются в одной точке.

Задача 8: Коробка m × n заполнена прямоугольниками 1 × k. Разрешается выбрать k прямоугольников, образующих квадрат k × k, и поменять у них одновременно ориентацию. Докажите, что все прямоугольники можно сориентировать одинаково.

Задача 9: Число n называется периодическим в некоторой системе счисления, если существует число a такое, что в этой системе счисления запись n есть повторенная несколько раз запись числа a (n и a – натуральные, a ≠ 1; a называется периодом числа n). Докажите, что числа вида p², где p простое число, ни в одной системе счисления не являются периодическими.

Задача 10: Назовем пару клеток квадратной доски «дружественной", если они являются крайними клетками в некотором прямоугольнике 1 × 4. Можно ли доску 100 × 100 разбить на пары «дружественных" клеток?