Задача 1: Можно ли из 5000 одинаковых спичек, не ломая их, сложить контур прямоугольного треугольника (требуется использовать все спички)?

Задача 2: В квадрате нарисованы три простые замкнутые ломаные (каждая из них может пересекать другие). Играют двое: они по очереди выбирают ломаную (каждый раз новую) и по своему желанию закрашивают часть квадрата вне или внутри нее. Первый игрок стремится к тому, чтобы в конце игры трижды закрашенная площадь была как можно меньше. Какую наименьшую площадь он может обеспечить независимо от ломаных и от игры соперника?

Задача 3: Многочлен P(x) делит xⁿ – 1 при некотором натуральном n. Может ли один из его коэффициентов равняться 1993?

Задача 4: Две вершины параллелограмма являются серединами сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, а две другие вершины лежат на сторонах BC и AD. Докажите, что площадь этого параллелограмма вдвое меньше площади четырехугольника ABCD.

Задача 5: В одну из клеток таблицы n × n ставится 0, в соседние (имеющие с ней общую сторону) ставятся  – 1, в свободные соседние с  – 1 клетки ставятся 2, затем в свободные соседние с 2 клетки ставятся  – 3, затем 4,  – 5, 6, и т.д. Укажите все начальные положения 0 такие, чтобы сумма всех чисел таблицы была максимальной.

Задача 6: Дан выпуклый многогранник. В каждой его вершине сходятся три грани. Каждая грань окрашена в один из 4 цветов: красный, желтый, синий или зеленый, причем грани с общим ребром – разных цветов. Докажите, что число красных граней с нечетным числом сторон имеет ту же четность, что и число синих граней с нечетным числом сторон.

Задача 7: Внутри треугольника найдите точку, для которой произведение длин перпендикуляров, опущенных из этой точки на стороны треугольника, будет наибольшим.

Задача 8: Докажите, что для любого натурального n на интервале найдется число, представимое в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Задача 9: Дано выпуклое тело в пространстве. Можно ли на его поверхности отметить 4 различные точки так, чтобы через каждую из них можно было бы провести опорную плоскость, параллельную плоскости, содержащей остальные три отмеченных точки? (Опорной называется плоскость, имеющая общие точки с границей тела, но не с его внутренностью.)

Задача 10: Дан вписанный четырехугольник ABCD. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники ABD, ABC, BCD и ACD, являются вершинами прямоугольника.