Задача 1: Какое наименьшее число сомножителей нужно вычеркнуть в произведении 1 × 2 × 3 ×  …  × 99 так, чтобы произведение оставшихся сомножителей оканчивалось на 2?

Задача 2: Дана треугольная пирамида SABC; A′, B′, C′ – основания перпендикуляров, опущенных из точек A, B, C на противоположные им грани. Известно, что A′B′\|AB, B′C′\|BC и C′A′\|CA. верно ли, что пирамида правильная?

Задача 3: Прямоугольник разрезан прямыми, параллельными его сторонам, на m × n прямоугольных частей. Каждая часть покрыта карточкой, на обороте которой написана площадь этой части. Какое наименьшее число карточек надо перевернуть, чтобы определить площадь исходного прямоугольника?

Задача 4: Найдите все такие p, что уравнение имеет решение при любом положительном a, не равном 1.

Задача 5: В клетке a1 шахматной доски стоит король, который каждым ходом перемещается на 1 клетку вправо, либо вверх, либо по диагонали вправо и вверх. Двое по очереди ходят королем. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 6: Каждая сторона треугольника разбита точкой, взятой на стороне, на два отрезка. Оказалось, что из полученных 6 отрезков параллельными переносами можно составить контур выпуклого шестиугольника. Докажите, что эти точки делят стороны треугольника в одинаковом отношении.

Задача 7: Каркас произвольного n-гранника спаян из металлических стержней. Найдите наименьшее число k такое, что какие бы k ребер не перекусить, многогранник распадется на отдельные части.

Задача 8: Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди чисел , отличных от нуля и удовлетворяющих равенству:

Задача 9: Окружность, вписанная в четырехугольник ABCD, касается сторон AB и AD в точках E и F соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников ABC и ADC равно BE:DF.

Задача 10: На площади стоит несколько автомобилей. Каждый автомобиль имеет форму правильного 1993-угольника (размеры могут быть различны) и может двигаться только в направлении внешней нормали к любой из сторон. Всегда ли найдется автомобиль, который сможет выехать с площади, не задевая остальные?