Задача 1: Докажите, что при всех x,y ∈ [0;1] выполняется неравенство: 5(x² + y²)² ≤ 4 + (x + y)⁴

Задача 2: Дан параллелограмм ABCD ( ∠ BAD – острый). Биссектриса угла BAD пересекает сторону CD в точке L, а прямую BC – в точке K. Пусть O – центр окружности, описанной около треугольника LCK. Докажите, что точки D, B, C и O лежат на одной окружности.

Задача 3: Дана функция f(x) = x² – 3|x| + 4. Найдите все множества A, состоящие из конечного числа элементов и обладающие следующим свойством: для любого числа x, принадлежащего множеству A, число f(x) также принадлежит множеству A.

Задача 4: Можно ли разбить множество натуральных чисел на три непустых попарно непересекающихся множества так, чтобы для каждой пары чисел x и y, взятых из любых двух разных множеств, число xy + x + y принадлежало бы третьему множеству?

Задача 5: Даны последовательности a_n и d_n: a_n = 100 + n², d_n – наибольший общий делитель чисел a_n и a_n + 1. Какое наибольшее значение может принимать d_n?

Задача 6: Найдите все функции f(x):R → R, которые для любых x и y удовлетворяют равенству f(x² + y) = f(x) + f(y).

Задача 7: Даны 27 (не обязательно различных) положительных чисел . Рассматриваются тройки индексов (k,m,n) такие, что a_k < a_m, a_k + a_m = a_n. Каково наибольшее возможное количество таких троек?

Задача 8: Сфера с центром O касается всех ребер тетраэдра. Четыре сферы с центрами в вершинах тетраэдра попарно касаются друг друга внешним образом, а также касаются некоторой сферы с центром O. Докажите, что тетраэдр является правильным.

Задача 9: Пусть  α (x) и  β (x) – многочлены, степень каждого из которых больше единицы,  ρ (x) =  α ( β (x)). Пусть многочлен  ρ (x) – четен. Докажите, что многочлен  β (x) –  β (0) – четен или нечетен.

Задача 10: В стране 22 аэродрома, и каждый связан авиарейсами с тремя другими. Докажите, что есть такая пара аэродромов A и B, для которой любой перелет из A в B требует не менее трех пересадок.