Задача 1: Шесть кругов имеют общую внутреннюю точку. Докажите, что центр одного из них лежит внутри другого.

Задача 2:

Задача 3: Внутри правильного шестиугольника ABCDEF взята произвольная точка М. Докажите, что из отрезков MA, MB, MC, MD, ME, MF можно составить шестиугольник, площадь которого не меньше площади исходного шестиугольника.

Задача 4: В десятичной записи натурального числа M₀ зачеркивают последнюю цифру x, а к оставшемуся числу прибавляют 2x. С получившимся числом M₁ проделывают ту же операцию, дающую число M₂, и т.д. Найдите все такие числа M₀, для которых в последовательности M₁,M₂, …  все члены, начиная с некоторого номера, равны.

Задача 5: Дан треугольник ABC, все углы которого выражаются целым числом градусов и отличны от 45, 90, 135. Точки A₁, B₁, C₁ – основания его высот, точки A₂, B₂, C₂ – основания высот треугольника A₁B₁C₁, и т.д. Докажите, что среди треугольников бесконечно много подобных между собой.

Задача 6:

Задача 7: Найдите все последовательности (a_n), удовлетворяющие условию: для каждого натурального n a₁ + a₂ +  …  + a_n = n²a_n.

Задача 8: Дано 1995 множеств, причем каждое из них содержит 45 элементов и любые два имеют ровно один общий элемент. Докажите, что все эти множества имеют общий элемент.

Задача 9: На доске в строчку написаны 12 звездочек. Два игрока по очереди заменяют любую звездочку произвольной ненулевой цифрой. Второй игрок выигрывает, если число, получившееся после 12 ходов, делится на 13, и проигрывает в противном случае. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 10: Докажите, что на бесконечной шахматной доске можно расставить бесконечно много ферзей так, чтобы каждый из них бил ровно 7 других ферзей.